Wer muss die Miete für drei Monate bei der Kündigung zahlen?

Sehr geehrter Herr Schulte
Mein Vater bekommt Sozialhilfe, seit dem er in Deutschland ist. Er ist 83 Jahre alt und wohnt alleine. Aufgrund eines Rückfalls seiner Dimenz durfte er nicht mehr alleine in seiner Wohnung bleiben und musste innerhalb zwei Wochen in eine betreute Wohnung umziehen, die ebenfalls vom Sozialamt bezahlt wird. Mein Vater ist im Rentenalter nach Deutschland gekommen und wurde immer vom Sozialamt unterhalten, dementsprechend verfügt er über keinerlei Ersparnisse oder sonstige Einkommen. Seit es feststand, dass mein Vater an Dimenz erkrankt ist, bin ich sein Bevollmächtigter und regele alle seine Angelegenheiten. Ich habe die Wohnung gekündigt, laut Kündigungsfrist muss die Miete bis einschließlich Juni (noch 3 Monate) bezahlt werden. Ich habe mit der Firma telefoniert, dort gibt es keinen unmittelbaren Gesprächspartner und die lassen nicht mit sich handeln.
Hier meine Frage: Hafte ich mit meinem Vermögen für Schulden meines Vaters? Wer kommt in diesem Fall für die dreimonatige Miete auf? Falls ich die Zahlungsforderung ignoriere und die Firma meinen Vater anklagt, besteht die Möglichkeit, dass die gewinnt und ich sowohl die Prozesskosten als auch die Miete zahlen muss? Wir haben keine Rechtsschutzversicherung, mein Einkommen liegt unter 100.000 Euro.
Mit freundlichen Grüßen W.

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